数据结构-位操作技巧归纳
检测一个无符号数是不为2^n-1(^为幂)： x&(x+1)
将最右侧0位改为1位： x | (x+1)
二进制补码运算公式：
-x = ~x + 1 = ~(x-1)
~x = -x-1
-(~x) = x+1
~(-x) = x-1
x+y = x - ~y - 1 = (x|y)+(x&y)
x-y = x + ~y + 1 = (x|~y)-(~x&y)
x^y = (x|y)-(x&y)
x|y = (x&~y)+y
x&y = (~x|y)-~x
x==y: ~(x-y|y-x)
x!=y: x-y|y-x
x< y: (x-y)^((x^y)&((x-y)^x))
x<=y: (x|~y)&((x^y)|~(y-x))
x< y: (~x&y)|((~x|y)&(x-y))//无符号x,y比较
x<=y: (~x|y)&((x^y)|~(y-x))//无符号x,y比较
使用位运算的无分支代码：
计算绝对值
int abs( int x )
{
int y ;
y = x >> 31 ;
return (x^y)-y ;//or: (x+y)^y
}
符号函数：
sign(x) = -1, x<0; 0, x == 0 ; 1, x > 0
int sign(int x)
{
return (x>>31) | (unsigned(-x))>>31 ;//x=-2^31时失败(^为幂)
}
三值比较：
cmp(x,y) = -1, x<y; 0, x==y; 1, x > y
int cmp( int x, int y )
{
return (x>y)-(x-y) ;
}
doz=x-y, x>=y; 0, x<y
int doz(int x, int y )
{
int d ;
d = x-y ;
return d & ((~(d^((x^y)&(d^x))))>>31) ;
}
int max(int x, int y )
{
int m ;
m = (x-y)>>31 ;
return y & m | x & ~m ;
}
不使用第三方交换x,y:
1.x ^= y ; y ^= x ; x ^= y ;
2.x = x+y ; y = x-y ; x = x-y ;
3.x = x-y ; y = y+x ; x = y-x ;
4.x = y-x ; x = y-x ; x = x+y ;
双值交换:
x = a, x==b; b, x==a//常规编码为x = x==a ? b :a ;
1.x = a+b-x ;
2.x = a^b^x ;
下舍入到2的k次方的倍数:
1.x & ((-1)<<k)
2.(((unsigned)x)>>k)<<k
上舍入：
1. t = (1<<k)-1 ; x = (x+t)&~t ;
2.t = (-1)<<k ; x = (x-t-1)&t ;
位计数,统计1位的数量：
-
int pop(unsigned x) { x = x-((x>>1)&0x55555555) ; x = (x&0x33333333) + ((x>>2) & 0x33333333 ) ; x = (x+(x>>4)) & 0x0f0f0f0f ; x = x + (x>>8) ; x = x + (x>>16) ; return x & 0x0000003f ; } -
int pop(unsigned x) { static char table[256] = { 0,1,1,2, 1,2,2,3, ...., 6,7,7,8 } ; return table[x&0xff]+table[(x>>8)&0xff]+table[(x>>16)&0xff]+table[(x>>24)] ; }
奇偶性计算:
x = x ^ ( x>>1 ) ;
x = x ^ ( x>>2 ) ;
x = x ^ ( x>>4 ) ;
x = x ^ ( x>>8 ) ;
x = x ^ ( x>>16 ) ;
结果中位于x最低位，对无符号x,结果的第i位是原数第i位到最左侧位的奇偶性位反转：
unsigned rev(unsigned x)
{
x = (x & 0x55555555) << 1 | (x>>1) & 0x55555555 ;
x = (x & 0x33333333) << 2 | (x>>2) & 0x33333333 ;
x = (x & 0x0f0f0f0f) << 4 | (x>>4) & 0x0f0f0f0f ;
x = (x<<24) | ((x&0xff00)<<8) | ((x>>8) & 0xff00) | (x>>24) ;
return x ;
}
递增位反转后的数：
unsigned inc_r(unsigned x)
{
unsigned m = 0x80000000 ;
x ^= m ;
if( (int)x >= 0 )
do { m >>= 1 ; x ^= m ; } while( x < m ) ;
return x ;
}
混选位：
abcd efgh ijkl mnop ABCD EFGH IJKL MNOP->aAbB cCdD eEfF gGhH iIjJ kKlL mMnN oOpP
unsigned ps(unsigned x)
{
unsigned t ;
t = (x ^ (x>>8)) & 0x0000ff00; x = x ^ t ^ (t<<8) ;
t = (x ^ (x>>4)) & 0x00f000f0; x = x ^ t ^ (t<<4) ;
t = (x ^ (x>>2)) & 0x0c0c0c0c; x = x ^ t ^ (t<<2) ;
t = (x ^ (x>>1)) & 0x22222222; x = x ^ t ^ (t<<1) ;
return x ;
}
位压缩：
选择并右移字x中对应于掩码m的1位的位,如：compress(abcdefgh,01010101)=0000bdfh
compress_left(x,m)操作与此类似，但结果位在左边: bdfh0000.
unsigned compress(unsigned x, unsigned m)
{
unsigned mk, mp, mv, t ;
int i ;
x &= m ;
mk = ~m << 1 ;
for( i = 0 ; i < 5 ; ++i ) {
mp = mk ^ ( mk << 1) ;
mp ^= ( mp << 2 ) ;
mp ^= ( mp << 4 ) ;
mp ^= ( mp << 8 ) ;
mp ^= ( mp << 16 ) ;
mv = mp & m ;
m = m ^ mv | (mv >> (1<<i) ) ;
t = x & mv ;
x = x ^ t | ( t >> ( 1<<i) ) ;
mk = mk & ~mp ;
}
return x ;
}
位置换：
用32个5位数表示从最低位开始的位的目标位置，结果是一个32*5的位矩阵，将该矩阵沿次对角线转置后用5个32位字p[5]存放。
SAG(x,m) = compress_left(x,m) | compress(x,~m) ;
准备工作：
void init( unsigned *p ) {
p[1] = SAG( p[1], p[0] ) ;
p[2] = SAG( SAG( p[2], p[0]), p[1] ) ;
p[3] = SAG( SAG( SAG( p[3], p[0] ), p[1]), p[2] ) ;
p[4] = SAG( SAG( SAG( SAG( p[4], p[0] ), p[1]) ,p[2]), p[3] ) ;
}
实际置换：
int rep( unsigned x ) {
x = SAG(x,p[0]);
x = SAG(x,p[1]);
x = SAG(x,p[2]);
x = SAG(x,p[3]);
x = SAG(x,p[4]);
return x ;
}
**二进制码到GRAY码的转换: **
unsigned B2G(unsigned B )
{
return B ^ (B>>1) ;
}
GRAY码到二进制码:
unsigned G2B(unsigned G)
{
unsigned B ;
B = G ^ (G>>1) ;
B = G ^ (G>>2) ;
B = G ^ (G>>4) ;
B = G ^ (G>>8) ;
B = G ^ (G>>16) ;
return B ;
}
找出最左0字节的位置:
int zbytel( unsigned x )
{
static cahr table[16] = { 4,3,2,2, 1,1,1,1, 0,0,0,0, 0,0,0,0 } ;
unsigned y ;
y = (x&0x7f7f7f7f) + 0x7f7f7f7f ;
y = ~(y|x|0x7f7f7f7f) ;
return table[y*0x00204081 >> 28] ;//乘法可用移位和加完成
}
常用技巧
用于整数的奇偶性判断
一个整数a, a & 1 这个表达式可以用来判断a的奇偶性。二进制的末位为0表示偶数，最末位为1表示奇数。使用a%2来判断奇偶性和a & 1是一样的作用，但是a & 1要快好多。
判断n是否是2的正整数冪
(!(n&(n-1)) ) && n
举个例子：
如果n = 16 = 10000， n-1 = 1111
那么：
10000
& 1111
----------
0
再举一个例子：如果n = 256 = 100000000， n-1 = 11111111
那么：
100000000
& 11111111
--------------
0
统计n中1的个数
朴素的统计办法是：先判断n的奇偶性，为奇数时计数器增加1，然后将n右移一位，重复上面步骤，直到移位完毕。
朴素的统计办法是比较简单的，那么我们来看看比较高级的办法。
举例说明，考虑2位整数 n=11，里边有2个1，先提取里边的偶数位10，奇数位01，把偶数位右移1位，然后与奇数位相加，因为每对奇偶位相加的和不会超过”两位”，所以结果中每两位保存着数n中1的个数；相应的如果n是四位整数 n=0111，先以”一位”为单位做奇偶位提取，然后偶数位移位（右移1位），相加；再以”两位”为单位做奇偶提取，偶数位移位（这时就需要移2位），相加，因为此时没对奇偶位的和不会超过”四位”，所以结果中保存着n中1的个数，依次类推可以得出更多位n的算法。整个思想类似分治法。
在这里就顺便说一下常用的二进制数：
0xAAAAAAAA=10101010101010101010101010101010
0x55555555 = 1010101010101010101010101010101（奇数位为1，以1位为单位提取奇偶位）
0xCCCCCCCC = 11001100110011001100110011001100
0x33333333 = 110011001100110011001100110011（以"2位"为单位提取奇偶位）
0xF0F0F0F0 = 11110000111100001111000011110000
0x0F0F0F0F = 1111000011110000111100001111（以"8位"为单位提取奇偶位）
0xFFFF0000 =11111111111111110000000000000000
0x0000FFFF = 1111111111111111（以"16位"为单位提取奇偶位）
例如：32位无符号数的1的个数可以这样数：
int count_one(unsigned long n)
{
//0xAAAAAAAA，0x55555555分别是以"1位"为单位提取奇偶位
n = ((n & 0xAAAAAAAA) >> 1) + (n & 0x55555555);
//0xCCCCCCCC，0x33333333分别是以"2位"为单位提取奇偶位
n = ((n & 0xCCCCCCCC) >> 2) + (n & 0x33333333);
//0xF0F0F0F0，0x0F0F0F0F分别是以"4位"为单位提取奇偶位
n = ((n & 0xF0F0F0F0) >> 4) + (n & 0x0F0F0F0F);
//0xFF00FF00，0x00FF00FF分别是以"8位"为单位提取奇偶位
n = ((n & 0xFF00FF00) >> 8) + (n & 0x00FF00FF);
//0xFFFF0000，0x0000FFFF分别是以"16位"为单位提取奇偶位
n = ((n & 0xFFFF0000) >> 16) + (n & 0x0000FFFF);
return n;
}
举个例子吧，比如说我的生日是农历2月11，就用211吧，转成二进制：n = 11010011
计算n = ((n & 0xAAAAAAAA) >> 1) + (n & 0x55555555);
得到 n = 10010010
计算n = ((n & 0xCCCCCCCC) >> 2) + (n & 0x33333333);
得到 n = 00110010
计算n = ((n & 0xF0F0F0F0) >> 4) + (n & 0x0F0F0F0F);
得到 n = 00000101 -----------------à无法再分了，那么5就是答案了。
对于正整数的模运算（注意，负数不能这么算）
先说下比较简单的：
乘除法是很消耗时间的，只要对数左移一位就是乘以2，右移一位就是除以2，传说用位运算效率提高了60%。
乘2^k 众所周知： n«k。所以你以后还会傻傻地去敲2566*4的结果10264吗？直接2566«4就搞定了，又快又准确。
除2^k众所周知： n»k。
那么 mod 2^k 呢？（对2的倍数取模）
**n&((1<<k)-1)**
用通俗的言语来描述就是,对2的倍数取模，只要将数与2的倍数-1做按位与运算即可。
好！方便理解就举个例子吧。
思考：如果结果是要求模2^k时，我们真的需要每次都取模吗？
在此很容易让人想到快速幂取模法。
快速幂取模算法
经常做题目的时候会遇到要计算 a^b mod c 的情况，这时候，一个不小心就TLE了。那么如何解决这个问题呢？位运算来帮你吧。
首先介绍一下秦九韶算法：(数值分析讲得很清楚)
把一个n次多项式f(x) = a[n]x^n+a[n-1]x^(n-1)+......+a[1]x+a[0]改写成如下形式：
f(x) = a[n]x^n+a[n-1]x^(n-1))+......+a[1]x+a[0]
= (a[n]x^(n-1)+a[n-1]x^(n-2)+......+a[1])x+a[0]
= ((a[n]x^(n-2)+a[n-1]x^(n-3)+......+a[2])x+a[1])x+a[0]
=. .....
= (......((a[n]x+a[n-1])x+a[n-2])x+......+a[1])x+a[0].
求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即
v[1]=a[n]x+a[n-1]
然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即
v[2]=v[1]x+a[n-2]
v[3]=v[2]x+a[n-3]
......
v[n]=v[n-1]x+a[0]
这样，求n次多项式f(x)的值就转化为求n个一次多项式的值。
好！有了前面的基础知识，我们开始解决问题吧.
由(a × b) mod c=( (a mod c) × b) mod c.
我们可以将 b先表示成：
b = a[t] × 2^t + a[t-1]× 2^(t-1) + …… + a[0] × 2^0.
(a[i]=[0,1]).
这样我们由 a^b mod c = (a^(a[t] × 2^t + a[t-1] × 2^（t-1） + …a[0] × 2^0) mod c.
然而我们求 a^( 2^(i+1) ) mod c=( (a^(2^i)) mod c)^2 mod c .求得。
具体实现如下：
使用秦九韶算法思想进行快速幂模算法，简洁漂亮
// 快速计算 (a ^ p) % m 的值
__int64 FastM(__int64 a, __int64 p, __int64 m)
{
if (p == 0) return 1;
__int64 r = a % m;
__int64 k = 1;
while (p > 1)
{
if ((p & 1)!=0)
{
k = (k * r) % m;
}
r = (r * r) % m;
p >>= 1;
}
return (r * k) % m;
}
参考：http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=3070